思考方法总结---（6）整体看问题

　　由已知条件可得：

　　买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ①

　　买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ②

　　要想求出买甲1件，乙1件，丙l件，共需花多少钱，必须使上述①与②中对应的“件数”相差1。为此，可转化已知条件：

　　将条件①中的每个量都扩大3倍，得：

　　买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ③

　　将条件②中的每个量都扩大2倍，得：

　　买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ④

　　所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为

　　9.45-8.40=1.05（元）

　　这个解题方法的美妙之处在于：不在“买每一件货物分别需多少钱”的局部兜圈子，而是从整体角度考虑问题。当采用“各个击破”的解题方法难以奏效时，数学家常常用这种“整体看问题”的眼光来处理问题。就是根据题目特点，不纠缠于题目的局部或者细节，而是统观全局，从整体出发来设计解题方案。这样，往往会收到事半功倍的效果。

　　加 =0.25×3”这个特点，对算式进行合理变形，并得出巧妙的解法。这就是：

　　=0.25×19＋0.75×27

　　=0.25×19＋0.25×3×27

　　=0.25×（19＋81）

　　=25

　　问它们分别代表哪些数字？

　　别作为一个整体（三位数），就可以把求六个未知数字的问题转化为求两个三位数的问题，这样解题一定能方便得多。

　　3×（1000×a＋b）＝4×（1000×b＋a）

　　对上式计算、整理得：2996×a=3997×b

　　再化简得：

　　428×a=571×b

　　因为a和b都是三位数，而且428与571互质，所以要使乘积“428×a”与“571×b”相等，必须使a=571，b=428。B、I、D、F、O、R这六个字母分别代表5、7、1、4、2、8六个数字。

　　【例4】“ 2×3×5×7×11×13×17”的各位数字之和是多少？

　　【分析与解】 解这道题的一般思路是先算出这个连乘式的结果，再把它各位上的数字相加。但这是一道“华杯”赛决赛的一道口试题，要求在1分钟内报出答案。在口试中，规定时间内答不出题是不能得分的。怎么办呢？

　　办法是有的。只要把算式中的每个数都仔细观察一番，抓住这些数字特点，可以绕开“把7个数连乘”这段弯路。

　　你看，式中有 2，又有 5， 2×5=10，10与其它 5个数的积相乘，只要在末尾添个0，不影响各位上的数字和。

　　再看看，式中有7，11，13。你如果记得：7×11×13=1001，而1001与位数比它少的自然数相乘，积的各位上除0以外，就是这个数重复一遍，如 51×1001=51051。题中7个数除2，5，7，11，13外，还有3×17=51。所以，本题的答案为（5＋1）×2=12。

　　要提高解题的速度，当然离不开头脑反应快。但更重要的是认真全面地审题，想方设法“走近路”。另外，平时看课外书时还要注意积累，弄懂了，记牢了，解题时还要知道应用它。

　　【例5】 如图14－1，正方形的面积是50平方厘米，三角形ACD的两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形的面积是多少平方厘米？

　　想方设法去找“底”和“高”。但题目中只告诉了“底”和“高”的关系，“底”和“高”的实际长度都是未知量。因此，仅仅盯住这个三角形不行。

　　如果从整体上看图14-1，就可发现：三角形的一条直角边也是正方形的一条边，它的长等于正方形的边长。设正方形的边长是a，那么，

　　所以，直接可求得三角形的面积是：

　　有许多关于几何图形的计算问题，更需要全面细致地观察整个图形，并在此基础上分析图中各部分的关系，通过“公共”部分，“牵线搭桥”，问题才容易得到解决。

　　【例6】如图14-2，长方形的长是12厘米，宽是6厘米。把长三等分，宽二等分，并把长方形内任意一点与所有的等分点及四个顶点全部连接起来。求阴影部分面积占空白部分面积的几分之几？

　　【分析与解】只要分别求出阴影部分和空白部分面积，其中空白部分的面积可由长方形面积减阴影部分面积得到。

　　=12+18=30（平方厘米）

　　再求空白部分面积：12×6-30

　　=42（平方厘米）

　　【例7】以三角形的三个顶点为圆心，画半径是1厘米的三个圆（如图14－3）。求阴影部分面积的和。

　　【分析与解】从整体上看就会发现，阴影部分是三个扇形，它们的圆心角分别为三角形的三个内角，和为180度，各阴影部分拼起来恰好是一个半圆的面积：

　　=1.57（平方厘米）　　

　　【思考题】

　　一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑100米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？

　　[提示：不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘以一共所跑的时间。]